SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS EN CLASE

M.Jaraba y D. Polo

Prof: Alvaro Perez

Problema 2.23

En el circuito que se muestra en la siguiente figura, determine Vx y la potencia absorbida por el resistor 12 Ohm.

Este circuito puede reducirse a:

En donde:

$$3\ \Omega=(4\ \Omega +3\ \Omega||6\ \Omega)||(1.2\ \Omega+8\ \Omega||12\ \Omega)$$

Aplicando el divisor de corriente se encuentra que:

$$i_1=\left(\frac{2\ \Omega}{2\ \Omega +4\ \Omega}\right)\cdot 6\ A=2\ A$$

$$i_2=\left(\frac{4\ \Omega}{2\ \Omega +4\ \Omega}\right)\cdot 6\ A=4\ A$$

Por tanto Vx sera igual a:

$$Vx=(2\ A )(1\ \Omega)=2\ V$$

Problema  2.24

En referencia al circuito de la figura 2.88, halle Vo en términos de: a, R1, R2, R3, R4. Si R1=R2=R3=R4, ¿Que valor de a producirá |Vo/Vs|=10?

Aplicando LTK a la primera malla se encuentra que:

$$-V_s+(R_1+R_2)I_0=0$$

Despejando Io:

$$I_0=\frac{V_s}{R_1+R_2}$$

Por otro lado se tiene que aplicando LCK al nodo que esta conectado a la fuente controlada se obtiene que:

$$\alpha I_o=i_3+i_4=-\frac{V_o}{R_3}-\frac{V_o}{R_4}$$

Despejando Io se obtiene que:

$$I_o=-\left(\frac{R_3+R_4}{\alpha R_3 R_4}\right)V_o$$

Igualanado estas dos ecuaciones obtenemos:

$$\frac{V_o}{V_s}=-\frac{\alpha R_3 R_4}{(R_3+R_4)(R_1+R_2)}$$

Ahora si:

$$R_1=R_2=R_3=R_4=R$$

Nos queda que:

$$\frac{V_o}{V_s}=-\frac{\alpha\cdot R\cdot R}{(R+R)(R+R)}=-\frac{\alpha}{4}$$

Como se necesita que:

$$\left| \frac{V_o}{V_s}\right|=10$$

Por tanto a debe valer:

$$\alpha=10\cdot 4=40$$

Problema 2.25

Para la red de la figura 2.89, halle la tensión, la corriente y potencia asociados con el resistor de 20 kOhm.

Primero se determina el el voltaje Vo, aplicando la ley de Ohm en el resistor de 10 kOhm. Por tanto:

$$Vo=(5\ mA)(10\ k\Omega)=50\ V$$

Ahora aplicando divisor de corriente en el circuito de la derecha se obtiene:

$$i_{5k\Omega}=\left(\frac{20\ k\Omega}{5\ k\Omega+20\ k\Omega}\right)(500\ mA)=400\ mA$$

$$i_{20k\Omega}=\left(\frac{5\ k\Omega}{5\ k\Omega+20\ k\Omega}\right)(500\ mA)=100\ mA$$

Por tanto el voltaje en la resistencia de 20 kOhm sera de:

$$V_{20k\Omega}=(100\ mA)(20\ k\Omega)=2\ kV$$

Y así la potencia sera de:

$$P_{20k\Omega}=(100\ mA)(2\ kV)=200\ W$$

Problema 2.26

Para el circuito de la figura 2.90 , Io=2 A. Calcule Ix y la potencia total disipada del circuito.

De la figura se observa que:

$$V_{2\Omega}=V_{4\Omega}=V_{8\Omega}=V_{16\Omega}=V_x$$

Pero podemos determinar el voltaje en el resistor de 16 Ohm con Io:

$$V_{16\Omega}=(2 A)(16 \Omega)=32\ V$$

Por la relación anterior entonces se obtiene que:

$$i_{2\Omega}=\frac{32\ V}{2\ \Omega}=16\ A; \ \ \ i_{4\Omega}=\frac{32\ V}{4\ \Omega}=8\ A;\ \\i_{8\Omega}=\frac{32\ V}{8\ \Omega}=4\ A$$

Asi entonces la corriente Ix:

$$i_x=i_{2\Omega}+i_{4\Omega}+i_{8\Omega}+i_{16\Omega}=16\ A+8\ A+4\ A+2\ A=30\ A$$

La potencia total disipada sera entonces de:

$$P_{Total}=i_xV_x=(30\ A)(32\ V)=960\ W$$

Problema 2.28

Halle v1, v2, v3 en el circuito de la figura 2.92

Aplicando LTK a las dos mallas del circuito:

$$-40+14i_1+15i_2=0 \ \ \ (1)$$

$$-15i_2+10i_3=0 \ \ \ (2)$$

Por otro lado aplicando LCK a algunos de los nodos del circuito:

$$i_1=i_2+i_3 \ \ \ (3)$$

Remplazando (3) en (1) obtenemos que:

$$14(i_2+i_3)+15i_2=40\rightarrow 29i_2+14i_3=40 \ \ \ (4)$$

Las ecuaciones (2) y (4) forman la siguiente ecuación matricial:

$$\begin{pmatrix} -15&10\\29&14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\40\end{pmatrix}$$

Cuya solucion es:

$$\begin{pmatrix} i_2\\i_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -15&10\\29&14 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 0\\40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{7}{250}&\frac{1}{50}\\ \frac{29}{500}&\frac{3}{100} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.8\\1.2\end{pmatrix}$$

Entonces:

$$i_2=0.8\ A; \ \ \ i_3=1.2\ A$$

Con la ecuacion (3) hallamos i1:

$$i_1=0.8\ A+1.2\ A=2\ A$$

Finalmente los voltajes pedidos seran:

$$v_1=(2\ A)(14\ \Omega)=28\ V; \ \ \ v_2=(0.8\ A)(15\ \Omega)=12\ V; \ \ \ v_3=(1.2\ A)(10\ \Omega)=12\ V$$

Problema 2.32
Halle i2 a i4 en el circuito de la figura 2.96

Hallando las conductancias respectivas de cada resistencia:
$$G_1=\frac{1}{30\ \Omega}=0.033\ S; \ \  G_2=\frac{1}{20\ \Omega}=0.05\ S;\ \ G_3=\frac{1}{40\ \Omega}=0.025\ S;\ \ G_4=\frac{1}{10\ \Omega}=0.1\ S$$

Aplicando el divisor de corriente obtenemos que:
$$i_1=\left(\frac{0.033\ S}{0.033\ S+0.05\ S+0.025\ S+0.1\ S}\right)(20\ A)=3.2\ A$$
$$i_2=\left(\frac{0.05\ S}{0.033\ S+0.05\ S+0.025\ S+0.1\ S}\right)(20\ A)=4.8\ A$$
$$i_3=\left(\frac{0.025\ S}{0.033\ S+0.05\ S+0.025\ S+0.1\ S}\right)(20\ A)=2.4\ A$$
$$i_4=\left(\frac{0.1\ S}{0.033\ S+0.05\ S+0.025\ S+0.1\ S}\right)(20\ A)=9.6\ A$$
Problema 2.33
Obtenga v e i en el circuito de la figura 2.97

Este circuito se puede reducir a:

Aplicando el divisor de corriente se tiene que:
$$i=\left(\frac{2\ S}{1\ S+2\ S}\right)(9\ A)=6\ A$$
Por tanto la corriente que pasa por el resistor de 1 S es de:
$$i_{2S}=9\ A-6\ A=3\ A$$
y la caida de potencial v sera entonces:
$$v=\frac{3\ A}{1\ S}=3\ V$$
Problema 2.34
Usando la combinación de resistencias en serie/en paralelo, halle la resistencia equivalente vista por la fuente en el circuito de la figura 2.98. Halle la potencia total disipada.

Las  dos resistencias de 10 Ohm están en serie con la de 20 Ohm  y este resultado esta en paralelo con una de las de 40 Ohm.
$$R_{eq}=40\ \Omega||(10\ \Omega+10\ \Omega+20\ \Omega)=20\ \Omega$$
Reescribiendo el circuito tenemos que:

Ahora la resistencias de 8, 20 y 12 Ohm estan en serie y a la ves estan paralelo con la de 40 Ohm. Por tanto:

$$R_{eq}=40\ \Omega||(8\ \Omega+20\ \Omega+12\ \Omega)=20\ \Omega$$
Re-dibujando el circuito:

La resistencia equivalente total del circuito sera entonces:

$$R_{T}=20\ \Omega+20\ \Omega=40\ \Omega$$

Asi la potencia total disipada sera:

$$P_T=\frac{(12\ V)^2}{40\ \Omega}=3.6\ W$$

Problema 2.35
Calcule Vo e Io en el circuito de la figura 2.99

Este circuito lo podemos reescribir como:

En donde R1 y R2 son respectivamente:

$$R1=30\ \Omega||70\ \Omega=21\ \Omega$$

$$R2=5\ \Omega||20\ \Omega=4\ \Omega$$

Aplicando un divisor de voltaje obtenemos que:

$$V_{ab}=\left(\frac{21\ \Omega}{21\ \Omega+4\ \Omega}\right)\cdot (50\ V)=42\ V$$

$$V_{bc}=\left(\frac{4\ \Omega}{21\ \Omega+4\ \Omega}\right)\cdot (50\ V)=8\ V$$

De aqui se obtiene entonces que:

$$V_o=V_{bc}=8\ V$$

Para calcular Io tenemos que para el nodo conformado por el resistor de 70 Ohm y el de 20 Ohm se debe cumplir que:

$$i_{70\Omega}=i_{20\Omega}+I_0$$

$$I_o=i_{70\Omega}-i_{20\Omega}=\frac{42\ V}{70\ \Omega}-\frac{8\ V}{20\ \Omega}=0.6\ A-0.4\ A=0.2\ A$$

Problema 2.36

Halle i  y Vo en el circuito de la figura 2.100

Reduciendo el circuito como sigue:

Reduciendo aun mas este circuito encontramos que:

$$R_{eq}=10\ \Omega+40\ \Omega||(24\ \Omega+16\ \Omega)=30\ \Omega$$

De aquí entonces que:

$$i=\frac{15\ V}{30\ \Omega}=0.5\ A$$

Aplicando división de corriente tenemos que:

$$i_2=\left(\frac{40\ \Omega}{80\ \Omega}\right)(0.5\ A)=0.25 A$$

Por tanto:

$$V_o=15\ V-(10\ \Omega)(0.5\ A)-(24\ \Omega)(0.25\ A)=4\ V$$

Problema 2.37

Halle R en el circuito 2.101

Aplicando LTK al circuito de la figura:

$$-20+10+10i-30=0$$

$$i=\frac{40}{10}=4\ A$$

Aplicando la ley de Ohm en el resistor R tenemos que:

$$R=\frac{10\ V}{4\ A}=2.5\ \Omega$$

Problema 3.7

Aplique el análisis nodal para determinar Vx en el circuito de la figura 3.56

Aplicando LCK en el nodo de No referencia tenemos:

$$i_1+i_2+0.2V_x=2 \rightarrow \frac{V_x}{10}+\frac{Vx}{20}+0.2V_x=2$$

$$2V_x+V_x+4V_x=40 \rightarrow 7V_x=40 \rightarrow V_x=\frac{40}{7}=5.71\ V$$

Problema 3.10

Halle Io en el circuito de la figura 3.59

Aplicando LCK a los nodos 1, 2, y 3 tenemos que:

Nodo 1:

$$i_3+I_o+4=0 \rightarrow \frac{v_1-v_3}{1}+\frac{v_1}{8}=-4 \rightarrow 8(v_1-v_3)+v_1=-32$$

$$9v_1-8v_3=-32\ \ \ (1)$$

Nodo 2:

$$i_1+2I_o=4 \rightarrow \frac{v_2}{2}+2(\frac{v_1}{8})=4 \rightarrow 2v_2+v_1=16\ \ \ (2)$$

Nodo 3:

$$i_3+2I_o-i_2=0\rightarrow \frac{v_1-v_3}{1}+2\frac{v_1}{8}-\frac{v_3}{4}=0\rightarrow 4(v_1-v_3)+v_1-v_3=0$$

$$v_1-v_3=0\ \ \ (3)$$

Resolviendo tenemos que:

$$v_1=-32\ V; \ \ \ v_2=24\ V \ \ \ y  \ \ v_3=-32\ V$$

Por tanto Io estaría dada por:

$$I_o=\frac{-32\ V}{8\ \Omega}=-4\ A$$

Problema 3.21

Para el circuito de la figura 3.70, halle v1 y v2 aplicando el análisis nodal.

Es fácil determinar que:

$$i_2=3\ mA$$

Por lo que:

$$v_2=v_o=(3\ mA)(1\ k\Omega)=3\ V$$

Ahora aplicando LCK al supernodo tenemos que:

$$i_1+i_3=i_2=0.003\rightarrow \frac{v_1-v_x}{2000}+\frac{v_1-3}{4000}=0.003$$

$$2(v_1-v_x)+v_1-3=12 \rightarrow 3v_1-2v_x=15 \ \ \ (1)$$

Por tambien se deduce que:

$$3-v_x=3v_0 \rightarrow v_x=-6V$$

Remplazando este valor en (1) tenemos:

$$v_1=\frac{15+2v_x}{3}=\frac{15+2(-6)}{3}=1\ V$$

Problema 3.27

Aplique el análisis nodal para determinar las tensiones v1, v2 y v3 , en el circuito de la figura 3.76.

Aplicando LCK

Nodo 1:

$$i_1+i_2+i_5+i_o=2 \rightarrow 2v_1+(v_1-v_2)+4(v_1-v_3)+4v_2=2$$

$$7v_1+3v_2-4v_3=2 \ \ \  (1)$$

Nodo 2:

$$i_3+i_o=i_2\rightarrow v_2-v_3+4v_2=v_1-v_2\rightarrow v_1-6v_2+v_3=0\ \ \ (2)$$

Nodo 3:

$$i_3+i_5+i_o+4=i_4 \rightarrow v_2-v_3+4(v_1-v_3)+4v_2+4=2v_3$$

$$4v_1+5v_2-7v_3=-4 \ \ \ (3)$$

Resolviendo este conjunto de ecuaciones tenemos que:

$$v_1=0.897\ V; \ \ \ v_2=0.375\ V; \ \ \ v_3=1.352\ V$$

Problema 3.61

Calcular la ganancia de corriente Io/Is , en el circuito de la figura 3.105

Aplicando LTK a la malla de la derecha:

$$5v_o+50i_o=0 \rightarrow v_o=-10i_o$$

Por otra parte aplicando LCK al nodo:

$$i_1+i_2=i_s \rightarrow \frac{v_o}{30}+\frac{6v_o}{20}=i_s$$

$$v_o=3i_s$$

Reemplazando este valor en la ecuacion anterior:

$$-10i_o=3i_s \rightarrow \frac{i_o}{i_s}=-0.3$$

Problema 3.67

Obtenga las ecuaciones de tensión de los nodos del circuito de la figura 3.111 por inspección. Después determine Vo.

Hallando las conductancia asociadas a cada nodo:

$$G_{11}=\frac{1}{10}+\frac{1}{4}=0.35\ S; \ \ G_{12}=-0.25\ S; \ \ G_{13}=0\ S$$

$$G_{21}=-0.25\ S; \ \ G_{22}= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=0.95\ S; \ \ G_{23}=-0.5\ S$$

$$G_{31}=0\ S; \ \ G_{32}= -0.5\ S; \ \ G_{33}=0.5\ S$$

Por tanto la matriz de conductancia queda dada por:

$$\begin{pmatrix}0.35&-0.25&0\\-0.25&0.95&-0.5\\0&-0.5&0.5  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2  \\v_3  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3V_o-2\\0\\6 \end{pmatrix}$$

La solucion de este sistema nos da que: 

$$v_1=6.32+14.21V_o \\\ v_2=16.84+7.89V_o \\\ v_3=28.84+7.89V_o$$

Pero sabemos que:

$$V_o=v_2-v_3=(16.84+7.89V_o)-(28.84+7.89V_o)$$

$$V_o=-12\ V$$

Problema 3.70

Escriba la ecuaciones de tensión de nodo por inspección y después determine los valores de V1 y V2 en la figura 3.114

La matriz de conductancia quedaría como:

$$\begin{pmatrix} 3&0\\0&5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4i_x+4\\-4i_x-2\end{pmatrix}$$

La solución de este sistema es:

$$V_1=\frac{4}{3}(1+i_x) \ \ y  \ \ V_2=-\frac{2}{5}(1+2i_x)$$

Pero Ix esta dado por:

$$i_x=2V_1$$

Reemplazando esto en la ecuaciones anteriormente halladas:

$$V_1=\frac{4}{3}(1+2V_1) \rightarrow \frac{3}{4}V_1-2V_1=1\rightarrow V_1=-0.8\ V$$

Por tanto:

$$i_x=2(-0,8\ V)=-1.6\ A$$

Y entonces V2 seria:

$$V_2=-\frac{2}{5}[1+2(-1.6)]=0.88\ V$$